（３）对于求ｙ＝｜ｘ－ａ｜＋｜ｘ－ｂ｜或ｙ＝｜ｘ＋ａ｜－｜ｘ－ｂ｜型的最值问题利用绝对值三角不等式更简捷、方便．
题型７． 绝对值不等式的解法
例７． 解下列不等式：
（１）１＜｜ｘ－２｜≤３；
（２）｜２ｘ＋５｜＞７＋ｘ；
（３）｜ｘ２－９｜≤ｘ＋３；
（４）｜ｘ－１｜＋｜ｘ－２｜＜５．
分析：（１）利用公式或平方法转化为不含绝对值的不等式；（２）利用公式法转化为不含绝对值的不等式； （３）利用绝对值的定义或｜ｆ（ｘ）｜≤ａ（ａ＞０）?圯－ａ≤｜ｆ（ｘ）｜≤ａ去掉绝对值符号或利用数形结合思想求解； （４）不等式的左边含有绝对值符号，要同时去掉这两个绝对值符号，可以采用“零点分段法”，此题亦可利用绝对值的几何意义去解．
解析：（１）原不等式等价于不等式组｜ｘ－２｜＞１，ｘ－２≤３，即ｘ＜１或ｘ＞３，－１≤ｘ≤５，
解得－１≤ｘ＜１或３＜ｘ≤５，
所以原不等式的解集为｛ｘ｜－１≤ｘ＜１或３＜ｘ≤５｝．
（２）由不等式｜２ｘ＋５｜＞７＋ｘ，
可得２ｘ＋５≥０，２ｘ＋５＞７＋ｘ或 ２ｘ＋５＜０，２ｘ＋５＜－（７＋ｘ），解得ｘ＞２或ｘ＜－４．
∴原不等式的解集是｛ｘ｜ ｘ＜－４或ｘ＞２｝
（３）原不等式?圳① ｘ２－９≥０，ｘ２－９≤ｘ＋３或② ｘ２－９＜０，９－ｘ２－≤ｘ＋３，
不等式①?圳ｘ≤－３或ｘ≥３，－３≤ｘ≤４?圳 ｘ＝－３或３≤ｘ≤４．
不等式②?圳－３＜ｘ＜４，ｘ≤－３或ｘ≥２?圳２≤ｘ＜３．
∴原不等式的解集是｛ｘ｜２≤ｘ≤４或ｘ＝－３｝．
（４）分别求｜ｘ－１｜，｜ｘ＋２｜的零点，即１，－２．由－２，１把数轴分成三部分：ｘ＜－２，－２≤ｘ≤１，ｘ＞１．
当ｘ＜－２时，原不等式即１－ｘ－２－ｘ＜５，解得－３＜ｘ＜－２；
当－２≤ｘ≤１时，原不等式即１－ｘ＋２＋ｘ＜５，因为３＜５恒成立，则－２≤ｘ≤１；
当ｘ＞１时，原不等式即ｘ－１＋２＋ｘ＜５，解得１＜ｘ＜２．
综上，原不等式的解集为｛ｘ｜－３＜ｘ＜２｝．
点评：（１）形如｜ｘ－ａ｜±｜ｘ－ｂ｜≥ｃ不等式的解法常用零点分段讨论法，其步骤为：①求零点；②划分区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．（２）上述不等式也可用｜ｘ－ａ１｜±｜ｘ－ａ２｜的几何意义去求解集．
题型８． 含参数的绝对值不等式
例８． 若关于ｘ的不等式｜ｘ＋２｜＋｜ｘ－１｜≤ａ的解集为?椎，求实数ａ的取值范围．
分析：把不等式问题转化为函数的图像，利用数形结合思想求解；也可以运用绝对值的几何意义求解．
解析：令ｙ１＝｜ｘ＋２｜＋｜ｘ－１｜，ｙ２＝ａ，∴ ｙ１＝２ｘ＋１， （ｘ≥１）３， （－２≤ｘ＜１）－２ｘ－１． （ｘ＜－２）
ｙ１、ｙ２的图像如图所示．
由图可知，当ａ＜３时，｜ｘ＋２｜＋｜ｘ－１｜≤ａ的解集为?椎．
题型９． 绝对值不等式的综合问题
例９． 已知ａ、ｂ、ｃ是实数，函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ，ｇ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ，当－１≤ｘ≤１时，｜ｆ（ｘ）｜≤１．
（１）证明：｜ｃ｜≤１；
（２）证明：当－１≤ｘ≤１时，｜ｇ（ｘ）｜≤２；
（３）设ａ＞０，当－１≤ｘ≤１时，ｇ（ｘ）的最大值是２，求ｆ（ｘ）．
分析：（１）代入ｘ＝０即得；（２）结合一次函数的单调性和绝对值不等式的性质得证；（３）结合二次函数的图像和一次函数的最值求解．
解析：（１）由已知，当－１≤ｘ≤１时，｜ｆ（ｘ）｜≤１，取ｘ＝０，得｜ｃ｜＝｜ｆ（０）｜≤１，即｜ｃ｜≤１．
（２）当ａ＞０时，ｇ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ在［－１，１］上是增函数，所以ｇ（－１）≤ｇ（ｘ）≤ｇ（１），
因为｜ｆ（ｘ）｜≤１（－１≤ｘ≤１），｜ｃ｜≤１，所以ｇ（１）＝ａ＋ｂ＝ｆ（１）－ｃ≤
｜ｆ（１）｜＋｜ｃ｜≤２．
ｇ（１）＝－ａ＋ｂ＝－ｆ（－１）＋ｃ≥－（｜ｆ（－１）｜＋｜ｃ｜）≥－２．
由此可得｜ｇ（ｘ）｜≤２；
当ａ＜０时，ｇ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ在［－１，１］上是减函数，所以ｇ（－１）≥ｇ（ｘ）≥ｇ（１），
因为｜ｆ（ｘ）｜≤１（－１≤ｘ≤１），｜ｃ｜≤１，所以ｇ（－１）＝－ａ＋ｂ＝－ｆ（－１）＋ｃ≤ｆ（－１）＋｜ｃ｜≤２．
ｇ（１）＝ａ＋ｂ＝ｆ（１）－ｃ≥－（｜ｆ（１）｜＋｜ｃ｜）≥－２．由此得｜ｇ（ｘ）｜≤２；
当ａ＝０时，ｇ（ｘ）＝ｂ，ｆ（ｘ）＝ｂｘ＋ｃ，因为－１≤ｘ≤１．
所以ｇ（ｘ）＝｜ｆ（１）－ｃ｜≤｜ｆ（１）｜＋｜ｃ｜≤２．
综上，得ｇ（ｘ）≤２．
（３）因为ａ＞０，ｇ（ｘ）在［－１，１］上是增函数，当ｘ＝１时取得最大值２．
即ｇ（１）＝ａ＋ｂ＝ｆ（１）－ｆ（０）＝２，
因为－１≤ｆ（０）＝ｆ（１）－２≤１－２＝－１，所以ｃ＝ｆ（０）＝－１．
因为当－１≤ｘ≤１时，ｆ（ｘ）≥－１，即ｆ（ｘ）≥ｆ（０）．
根据二次函数性质，直线ｘ＝０为二次函数ｆ（ｘ）的图象的对称轴．
所以－b/2a＝０，即ｂ＝０，ａ＝２，
故有ｆ（ｘ）＝２ｘ２－１．